Tugas Matematika Diskrit & Multipe Choice 3

Latihan

Buktikan dengan induksi matematik
1. Jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2
2. Untuk semua n >1 maka adalah n3 +2n adalah kelipatan 3
3. 1·2 + 2·3 + 3·4 +…+ n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3

Jawab :

1. Jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2

    Bukti :
    Basis induksi
    Untuk =1, diperoleh 1= n2 , ini adalah benar sebab
                 1 = n2
                    = 12
                    = 1à pernyataan benar
    Langkah induksi. BiIa untuk n > 1 pernyataan
    1+3+5+...+(2n-1) = n2 adalah benar (hipotesis induksi)
    1+2+3+...+(2n-1) +(2n+1) -1 = (n+1)2 akan dibuktikan
    Bukti :
    1+3+5+…+ (2n-1) + (2n+1) -1) = n2 + (2n+1) – 1

                                                        = n2 + (2n+2) – 1

                                                        = n2 + 2n+1

                                                        = (n+1)2
Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya dibuktikan benar, maka semua bilangan ganjil positif pertama adalah n2
terbukti bahwa:
1+3+5+…+ (2n-1) = n2

2. Untuk semua n > 1 dengan induksi matematik n3+2n adalah kelipatan 3
    Bukti :
    Basis induksi :
    untuk untuk n=1 kita peroleh 3 = n3+2(n) = 13+2(1) = 3 , ini jelas benar sebab
    3 = n3+2(n) = 13+2(1) = 1+ 2=3 -→ pernyataan benar

    Langkah induksi. Jika untuk n > 1 pernyataan
    (n+1)3 + 2(n+1) = {[(n+1)2] [n+1]} + 2(n+1) adalah benar (hipotesis induksi)
    Kita harus menunjukkan bahwa :
    n+1)3 + 2(n+1) = (n3 + 2n) + 3(n2 + n + 1) benar

Langkah pembuktian 2
Untuk membuktikan ini tunjukan bahwa :
(n+1)3 + 2(n+1) = (n3 + 2n) + 3(n2 + n + 1)
{[(n+1)2] [n+1]} + 2(n+1 = {[n2 + 2n + 1] [n +1]} + (2n + 2)
                                          = (n3 + 2n2 + n + n2 +2n +1) + (2n+ 2)
                                          = (n3 + 3n2 + 3n +1) + (2n + 2)
                                          = (n3 + 2n ) + 3n2 + 3n + 3)
                                          = (n3 + 2n) + 3(n2 + n + 1)
Karena (= (n3 + 2n) adalah kelipatan 3 (hipotesa induksi) dan 3(n2 + n + 1) adalah juga merupakan kelipatan 3, maka = (n3 + 2n) + 3(n2 + n + 1) adalah kelipatan 3
Terbukti :
n3 + 2n adalah kelipatan 3 untuk n

3. 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3
    Untuk n = 1
    1.2 + 2.3 + .... + n(n + 1) = (n(n + 1)(n + 2 ))/3
    1(1 + 1) = (1(1 + 1)(1 + 2))/3
    1(2) = (1(2)(3))/3
    2 = 2
    terbukti benar,
    untuk n = k
    1.2 + 2.3 + .... + k(k + 1) = (k(k + 1)(k + 2))/3

    Uji untuk n = k + 1
    1.2 + 2.3 + .... + n(n + 1) = (n(n + 1)(n + 2))/3
    1.2 + 2.3 + .... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = ((k + 1)(k + 1 + 1)(k + 1 + 2))/3
    1.2 + 2.3 + .... + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) = ((k + 1)(k + 2)(k + 3))/3
    (k(k + 1)(k + 2))/3 + (k + 1)(k + 2) = ((k + 1)(k + 2)(k + 3))/3
    k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)
    (k + 3)(k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)(k + 3)
    terbukti benar.




PILIHAN GANDA

1. Dalam Untuk menyatakan kuantitas suatu objek proposisi digunakan notasi yang disebut…….
a. Elemen                d. Relasi
b. kuantor              e. Fungsi
c. refleksif

2. Untuk menunjukkan kuantitas obyek beberapa disimbolkan/ dinotasikan dengan…….
a. ∃           b. ⩝           c. ῼ           d. ∑           e. π

3. Negasi / ingkaran dari ∃X adalah………
a. ∃x          b. ⩝x        c. ῼx         d. ∑x         e. π𝑥

4. Pernyataan p(1) benar dalam Induksi Matematika disebut dengan……..
a. Langkah Induksi              d. Hipotesis induksi
b. Hipotesis                          e. Induksi Matematika
c. Basis induksi

5. Teknik pembuktian yang baku dalam matematik, khususnya menyangkut bilangan bulat positif disebut dengan…….
a. Langkah Induksi               d. Hipotesis induksi
b. Hipotesis                           e. Induksi Matematika
c. Basis induksi